Приведенная ниже задача интересна тем, насколько бесшовно ее кажущаяся хардкорность преобразуется в конкретные закономерности реального мира. Если первая и вторая часть вас напрягают, то лучше начните сразу с третьей.
Формулировка задачи
Канторово множество \(K\) определяется так: делим отрезок \([0,1]\) на три равные части и выбрасываем средний интервал \((\frac{1}{3},\frac{2}{3})\). Оставшиеся два отрезка \([0,\frac{1}{3}]\) и \([\frac{2}{3},1]\) опять делятся на три равные части, и средние интервалы выбрасываются, и т.д. до бесконечности. Оставшееся множество и есть канторово множество. Доказать:
А. \(K\) нигде не плотно, т.е., любой интервал \((α,β)⊂[0,1]\) содержит подинтервал \((α_1,β_1)\), свободный от точек \(K\),
Б. \(K\) несчетно (имеет мощность континуума),
В. \(K\) имеет меру 0.
Решение
А. Любой подинтервал \([0,1]\) либо полностью принадлежит отброшенной области, либо содержит в себе подинтервал, который на некотором шаге \(k\) построения множества \(K\) был отрезком. Но тогда часть этого отрезка была отброшена на шаге \(k+1\), следовательно, исходный подинтервал содержит подинтервал, свободный от точек \(K\).
Б. Представим точки отрезка \([0,1]\) в троичной системе счисления: \(a∈[0,1]\), \(a=0.α_1α_2α_3\) и т.д., где \(α_k∈\{0,1,2\}\). Согласно алгоритму построения Канторова множества, на k-м шаге из \(K\) исключаются точки, у которых \(α_k=1\). Оставшиеся точки можно сопоставить двоичным разложениям всех точек отрезка \([0,1]\) (с заменой 2 на 1), причем такое отображение является биекцией. Это значит, что мощность множества \(K\) равно мощности \([0,1]\), т.е. континууму.
В. Вычислим суммарную меру интервалов, которые исключаются при построении канторового множества. На n-м шаге исключается \(2^{n-1}\) интервалов длины \(\displaystyle\frac{1}{3^n}\). Сложив их все, получим \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{2^{n-1}}{3^n}=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\Big(\displaystyle\frac{2}{3}\Big)^n=\displaystyle\frac{1}{2}\times2=1\). Вычтя это из длины отрезка \([0,1]\), получим 0 — меру канторового множества.
Научно-популярное объяснение
Ниже приведена иллюстрация процесса построения канторова множества. Ничего не напоминает?
Попробуем согнуть каждую из горизонтальных линий и присоединить ее концы к серединам линий на уровне ниже.
Получаем другую знакомую структуру — бинарное дерево. Кстати, почему она так называется?
Если отрезать у настоящего дерева ветку (пожалуйста, не делайте так на самом деле), она будет напоминать уменьшенное исходное дерево. То же можно сделать и с бинарным деревом. Структуры, обладающие таким свойством, называются фракталами. А канторово множество — простейший одномерный пример фрактала.
Деревья напоминают фракталы не только ветвями, но и корнями. И вообще, в природе фракталы встречаются повсеместно. Например, наши кровеносная и нервная системы, а также легкие, имеют фрактальную структуру. Аналогично с внешними жабрами и фильтрами различных водных существ. В древних докембрийских морях существовала целая группа полностью фрактальных животных — рангеоморфов. В неживой природе те же свойства имеют снежинки и многие другие кристаллы. И в некоторой степени то же можно сказать о любой человеческой инфраструктуре — дорогах, электрической сети, Интернете.
Общие свойства столь разных систем объясняются схожестью их назначения. Листья дерева должны одновременно иметь доступ к свету, воздуху и воде, поднимающейся из корней. Корни должны касаться как можно большего количества почвы, чтобы быстрее впитывать из нее воду. Кровеносные сосуды должны доставлять кровь к каждой клетке. Легкие и жабры должны максимизировать поверхность соприкосновения сосудов и воздуха, и так далее.
Общий принцип уже должен быть понятен. Фрактальная структура возникает там, где требуется максимизировать поверхность (если мы говорим о трехмерной структуре) соприкосновения двух сред. По сути, именно об этом говорит доказанное выше свойство А: рядом с любой точкой фрактала найдется точка, не принадлежащая ему. Конечно, в реальном мире эти точки не могут быть бесконечно малыми, но с описанием макроскопических структур модель фрактала справляется.
Кроме того, по свойству В фрактал имеет нулевую меру. В реальном мире это означает, что он минимизирует собственный объем, а значит, и количество ресурсов, затрачиваемое на постройку фрактальных структур. Именно этого мы хотим от инфраструктуры: она должна занимать как можно меньше места, расходовать как можно меньше ресурсов, и при этом соединять как можно больше точек.
Наконец, интересный факт: если бы можно было расплести все сосуды кровеносной системы человека и выложить их в одну линию, ее длина составила бы до 100000 километров! Для периферийных нервов эта цифра меньше, но все равно существенна: 75 километров. Таким образом проявляется свойство Б, насколько ему это позволяют ограничения реального мира.
